New universality classes for random integer partitions
Nouvelles classes d'universalité pour les partitions aléatoires
Résumé
Random integer partitions have been particularly useful in explaining the connections between diverse physical and combinatorial models exhibiting the same asymptotic phenomena. Famously, a partition under the Plancherel measure encodes the lengths of monotone subsequences of a uniform random permutation; its parts also correspond to positions of free fermions on a lattice, a connection that allows their statistics to be studied exactly. It has a deterministic limit shape and edge fluctuations with a universal critical exponent of 1/3, associated with out-of-equilibrium physics. This thesis presents two generalisations of the Plancherel measure with edge behaviour escaping its universality class. First, we introduce measures on partitions corresponding to natural models of free fermions, and show that they give rise to “multicritical” asymptotic edge fluctuations, with new critical exponents. These measures relate multicritical free fermions to random unitary matrices, explaining the appearance of the same asymptotic distributions for both. Second, we introduce a measure related to the enumeration of transposition factorisations on symmetric groups and certain discrete surfaces. We show that, in a regime where the corresponding surfaces are of high genus, it produces a novel twofold limit behaviour where the first part becomes very large. As a consequence, we find an asymptotic estimate for the unconnected Hurwitz numbers at high genus. The laws studied each have integrable structures. In the first case our analysis exploits integrability directly; in the second, we use an entropy method to study an asymptotic regime which is inaccessible by integrability approaches.
Les partitions aléatoires d’entiers ont servi à expliquer les connexions entre modèles physiques et combinatoires très différentes. Une partition sous la célèbre mesure de Plancherel donne les longueurs des sous-suites monotones d’une permutation aléatoire uniforme ; ses parties correspondent aussi aux positions de fermions libres sur réseau, ce qui permet d’étudier leurs statistiques de manière exacte. Elle a une forme limite déterministe et des fluctuations de bord avec exposant critique universel 1/3, associé à la physique hors d’équilibre. Cette thèse porte sur deux généralisations de la mesure de Plancherel, dont le comportement de bord échappe l’universalité. On introduit en premier une famille de mesures correspondant aux fermions libres, et montre qu’elles entament des fluctuations de bord «multicritiques », avec d’autres exposants critiques. Ces mesures relient les fermions multicritiques aux matrices unitaires aléatoires, et expliquent l’apparition des mêmes distributions asymptotiques pour chaque modèle. En- suite, on introduit une mesure liée à l’énumération des factorisations par transpositions sur les groupes symétriques et de certaines surfaces discrètes. On montre que, dans un régime où les surfaces concernées sont de grand genre, elle produit un comportement limite inédit où la première partie devient très grande. Par conséquent, on obtient une approximation asymptotique pour les nombres d’Hurwitz non connexes à grand genre. Les lois étudiées possèdent des structures intégrables. Dans le premier cas, on les exploite directement ; dans le deuxième, on étudie via une méthode d’entropie un régime asymptotique inaccessible par l’approche d’intégrabilité.
Origine : Version validée par le jury (STAR)