Compensated integrability. Applications to the Vlasov–Poisson equation and other models in mathematical physics - Archive ouverte HAL Access content directly
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Compensated integrability. Applications to the Vlasov–Poisson equation and other models in mathematical physics

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Denis Serre
  • Function : Author
  • PersonId : 1029085

Abstract

We extend our analysis of divergence-free positive symmetric tensors (DPT) begun in a previous paper. On the one hand, we refine the statements and give more direct proofs. Next, we study the most singular DPTs, and use them to prove that the determinant is the only quantity that enjoys an improved integrability. Curiously, these singularities are intimately related to the Minkowski’s Problem for convex bodys with prescribed Gaussian curvature. We then cover a list of models of mathematical physics that display a divergence-free symmetric tensor ; the most interesting one is probably that of nonlinear Maxwell’s equations in a relativistic frame. The case of the wave equation is the occasion to highlight the role of the positivity assumption. Last, but not least, we show that the Vlasov–Poisson equation for a plasma is eligible for our theory.
Nous poursuivons l'analyse des tenseurs symétriques positifs à divergence nulle (DPT) commencée dans un précédent article. Pour une part, nous établissons des énoncés plus fins, et les preuves sont plus directes. Dans un second temps, nous étudions les DPTs les plus singuliers, et nous les utilisons pour montrer que le déterminant est la seule quantité qui jouisse d'une intégrabilité plus élevée. Curieusement, ces singularités sont intimement liées au Probìème de Minkowski, qui concerne les corps convexes à courbure de Gauß prescrite comme fonction de la direction normale. Nous passons ensuite en revue un certain nombre de modèles de Physique Mathématique où les tenseurs symétriques à divergence nulle sont à l'oeuvre. Le plus intéressant d'entre eux est sans doute le système de Maxwell dans un contexte non-linéaire et relativiste. Le cas de l'équation des ondes montre que l'hypothèse de positivité est essentielle pour la théorie. Enfin, nous montrons comment le cadre des DPTs s'applique à l'équation de Vlasov–Poisson avec force répulsive (cas d'un plasma).
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Dates and versions

ensl-01723852 , version 1 (05-03-2018)
ensl-01723852 , version 2 (16-03-2018)
ensl-01723852 , version 3 (05-05-2018)

Identifiers

Cite

Denis Serre. Compensated integrability. Applications to the Vlasov–Poisson equation and other models in mathematical physics. 2018. ⟨ensl-01723852v3⟩
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