On determinants of modi!ed Bessel functions and entire solutions of double confluent Heun equations

Abstract : Ceci est un travail en collaboration avec Victor Buchstaber. Nous étudions une famille à deux paramètres d’équations différentielles non linéaires, qu’on trouve dans le modèle de jonction surshuntée de Josephson dans la supraconductivité. Elle provient de la mécanique quantique, mais on la trouve aussi dans des problèmes de la mécanique classique et de la géométrie. Elle est équivalente à une famille spéciale à deux paramètres de systèmes dynamiques (flots) sur le 2-tore. Nous étudions le nombre de rotation comme une fonction en les paramètres. Les zones de verouillage de phase sont ses ensembles de niveau d’intérieurs non vide. Nous présentons une série de résultats et de conjectures sur la géométrie des zones de verouillage de phase obtenus en collaboration avec Victor Buchstaber et dans ses travaux avec Sergei Tertychnyi. Ces résultats ont été obtenus via réduction des équations non linéaires sous-jacentes aux équations différentielles complexes appropriées du 2nd ordre : une sous-famille d’équations d’Heun double confluentes. Il se trouve, que les zones de verouillage de phase existent uniquement pour les valeurs entières du nombre de rotation : l’effet de quantification du nombre de rotation, découvert par V.M.Buchstaber, O.V.Karpov et S.I.Tertychnyi. Une série de résultats communs de V.M.Buchstaber et S.I.Tertychnyi relie la géométrie des zones de verouillage de phases à l’existence de solutions entières (ou polynomiales) des équations d’Heun double confluentes. Une conjecture de Buchstaber et Tertychnyi sur la description des adjacences des zones de verouillage de phase était réduite par eux-mêmes à une conjecture affirmant, que si une équation d’Heun double confluente a une solution polynomiale, alors l’équation ’’conjuguée’’ n’a pas de solution éntière. Ils l’ont démontrée modulo une autre conjecture, affirmant que les déterminants de certaines matrices de fonctions de Bessel du 1er type sont non nuls pour tout x>0. Nos présenterons un résultat plus général, qui implique toutes ces conjectures.
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Contributor : Alexey Glutsyuk <>
Submitted on : Saturday, December 10, 2016 - 12:03:51 AM
Last modification on : Thursday, January 11, 2018 - 6:12:31 AM
Long-term archiving on : Tuesday, March 28, 2017 - 12:45:58 AM

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Victor Buchstaber, Alexey Glutsyuk. On determinants of modi!ed Bessel functions and entire solutions of double confluent Heun equations. Nonlinearity, IOP Publishing, 2016, 29, pp.3857-3870. ⟨10.1088/0951-7715/29/12/3857⟩. ⟨ensl-01409267⟩

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