A framework for locally structured spaces - application to geometric models of concurrency
Un cadre pour les espaces localement structurés - application aux modèles géométriques de la concurrence
Résumé
The usage of methods from Algebraic Topology in the study of concurrent processes was initiated in 1998. One of its key ingredient is the realization of precubical sets in the category of locally ordered spaces. Nevertheless, the formalization of the concept of a locally ordered space is not firmly set: various non-equivalent definitions have indeed appeared in the literature. This is a serious drawback, as we see in the third chapte, because the colimits of locally ordered spaces are extremely sensitive to seemingly anodyne modification in their definition. We end up with plethora of similar yet non-equivalent mathematical notions, all grounded on topology, intended to formalize the same idea.In this thesis, we design a unified framework to compare these notions. The key idea is to replace, for every set X, the powerset of X ordered by inclusion by a mere preordered set T(X). Intuitively, the members of T(X) are to be thought as parts of X endowed with an additional structure and we require that inclusions take these structures into account. Given T, we can define T-topological spaces and T-continuous maps by replacing the subsets by the members of the T(X) in the classic definitions of topological spaces and of continuous maps in terms of topological bases. By fixing the appropriate axioms on the T(X), we obtain a concrete category. We show that many standard notions of topology, like convergence, compactness, or initial topology, can be extended to this framework. Thus T is a kind of template which fix the form of the spaces associated to it, that is why such a T is called a topological theory.In the seventh chapter, we develop a natural generalization of Krishnan’s streams as T-topological spaces satisfying a simple additional stability property. Indeed, for a well choosen T, we recover standard streams.
L'utilisation de méthodes provenant de la topologie algébrique dans l'étude des processus concurrents ont été introduites en 1998. L'un des ingrédients clef est la réalisation des ensembles précubiques dans la catégories des espaces localement ordonnés. Cependant la formalisation du concept d'espace localement ordonné n'est pas consensuelle : plusieurs définitions non équivalentes ont été proposées dans la littérature. C'est un inconvénient majeur puisque, comme on le montre dans le chapitre 3, les colimites d'espaces localement ordonnés sont très sensibles à des changements apparemment mineurs dans les définitions. Il existe ainsi une pléthore de notions mathématiques similaires mais non équivalentes, toutes basées sur la topologie, qui essaient de formaliser la même idée.Dans cette thèse, on construit un cadre commun pour pouvoir comparer ces notions. L'idée clef est de remplacer, pour chaque ensemble X, l'ensemble des parties de X ordonné par inclusion par un ensemble préordonné T(X). Intuitivement, les membres de T(X) correspondent à des parties de X équipées d'une structure supplémentaire et on impose que les inclusions tiennent compte de ces structures. T étant fixé, on peut définir les espaces T-topologiques et les application T-continues en remplaçant les sous-ensembles par les membres des T(X) dans les définitions classiques des espaces topologiques et des applications continues en termes de bases de topologie. En imposant des axiomes appropriés aux T(X), on obtient une catégorie concrète. On montre que beaucoup de notions standard de topologie, comme la convergence, la compacité ou la topologie initiale, peuvent être étendues à ce cadre. Ainsi T est une sorte de template qui fixe la forme des espaces qui lui sont associés, pour cette raison, on appelle théorie topologique un tel T.Dans le chapitre 7, on développe une généralisation naturelle des streams de Krishnan comme des espaces T-topologiques vérifiant une simple propriété de stabilité supplémentaire. En effet, pour un T bien choisi, on retrouve alors les streams usuels.
Origine : Version validée par le jury (STAR)