On the ramification of modular parametrizations at the cusps

François Brunault (1)

1 Algèbre. Théorie des nombres

We investigate the ramification of modular parametrizations of elliptic curves over Q at the cusps. We prove that if the modular form associated to the elliptic curve has minimal level among its twists by Dirichlet characters, then the modular parametrization is unramified at the cusps. The proof uses Bushnell's formula for the Godement-Jacquet local constant of a cuspidal automorphic representation of GL(2). We also report on numerical computations indicating that in general, the ramification index at a cusp seems to be a divisor of 24.

Nous étudions la ramification aux pointes des paramétrisations modulaires des courbes elliptiques sur Q. Nous montrons que si le forme modulaire associée à la courbe elliptique est de niveau minimal parmi ses tordues par les caractères de Dirichlet, alors la paramétrisation modulaire est non ramifiée aux pointes. La preuve utilise la formule de Bushnell pour la constante locale de Godement-Jacquet d'une représentation automorphe supercuspidale de GL(2). Nous présentons également des calculs numériques indiquant qu'en général, l'indice de ramification en une pointe semble être un diviseur de 24.

Mots clés: Elliptic curve; Modular parametrization; Ramification index; Automorphic representation; Local constant

Domaines: Théorie des nombres [math.NT]

François Brunault. On the ramification of modular parametrizations at the cusps. Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, 2016, 28 (3), pp.773-790. ⟨10.5802/jtnb.963⟩. ⟨ensl-00707488v2⟩